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A vida após a morte na Grécia Antiga

A vida após a morte na Grécia Antiga

Na Grécia antiga, a continuação da existência dos mortos dependia de sua lembrança constante pelos vivos. A vida após a morte, para os gregos antigos, consistia em um mundo cinzento e sombrio na época de Homero (século VIII aC) e, o mais famoso, temos a cena de Homero Odisséia em que Odisseu encontra o espírito do grande guerreiro Aquiles no mundo inferior, onde Aquiles lhe diz que ele preferia ser um escravo sem terra na terra do que um rei no submundo. Na época de Platão, porém (século 4 aC), a vida após a morte havia mudado de caráter, de modo que as almas eram mais bem recompensadas por suas dores, uma vez que deixaram a terra; mas apenas na medida em que os vivos mantiveram sua memória viva.

A terra dos mortos

A vida após a morte era conhecida como Hades e era um mundo cinza governado pelo Senhor dos Mortos, também conhecido como Hades. Dentro deste reino enevoado, no entanto, havia diferentes planos de existência que os mortos podiam habitar. Se eles tivessem vivido uma vida boa e fossem lembrados pelos vivos, eles poderiam desfrutar dos prazeres ensolarados do Elysium; se fossem perversos, caíam nas covas mais escuras do Tártaro, enquanto, se fossem esquecidos, vagavam eternamente na desolação da terra de Hades. Embora o Elysium e o Tártaro existissem na época do escritor Hesíodo (contemporâneo de Homero), eles não eram entendidos da mesma forma que vieram a ser.

Se as pessoas tivessem vivido uma vida boa e fossem lembradas pelos vivos, poderiam desfrutar dos prazeres ensolarados do Elysium.

No diálogo de Platão de O Fédon, Sócrates delineia os vários planaltos da vida após a morte e deixa claro que a alma que, em vida, se dedica ao Bem é recompensada no além com uma existência muito mais agradável do que aquela que se entregou a seus apetites e viveu apenas para o prazeres que o mundo tem a oferecer. Como a maioria das pessoas, então como agora, viam seus entes queridos perdidos como modelos da virtude humana (fossem ou não, na verdade), era considerado dever para com os mortos lembrá-los bem, independentemente da vida que viveram, os erros que cometeram e, com isso, dar-lhes a continuidade da existência no Elysium. Essa lembrança não foi considerada uma questão de escolha pessoal, mas sim uma parte importante do que os gregos conheciam como Eusébia.

Piedade na Grécia Antiga

Traduzimos a palavra grega 'Eusebia' hoje como 'piedade', mas eusebia era muito mais do que isso: era um dever para consigo mesmo, para com os outros e para com os deuses que mantinham a sociedade nos trilhos e deixavam claro o lugar de cada um na comunidade. Sócrates, por exemplo, foi executado pela cidade-estado de Atenas após ter sido condenado por impiedade por supostamente corromper a juventude de Atenas e falar contra os deuses estabelecidos. Por mais injusto que possamos ver o fim de Sócrates hoje, ele seria, de fato, culpado de impiedade por encorajar os jovens de Atenas, por seu próprio exemplo, a questionar seus mais velhos e superiores sociais. Esse comportamento teria sido considerado ímpio, visto que os jovens não estavam agindo de acordo com a eusébia, ou seja, estavam esquecendo seu lugar e obrigações na sociedade.

Eusebia e a vida após a morte

Da mesma forma que se deve lembrar de seu dever para com os outros em sua vida, também deve se lembrar de seu dever para com aqueles que já partiram. Se alguém se esquecesse de honrar e lembrar o morto, era considerado ímpio e, embora essa violação específica da conduta social não fosse punida tão severamente quanto a violação de Sócrates, certamente era severamente desaprovada. Hoje, se considerarmos as lápides dos antigos gregos - seja em um museu ou logo abaixo da Acrópole em Atenas - encontramos pedras com cenas confortáveis ​​e comuns retratadas: um marido sentado à mesa enquanto sua esposa lhe traz o jantar, um homem sendo saudado por seus cães ao voltar para casa. Essas cenas simples não eram meramente representações de momentos que o falecido desfrutou na vida; destinavam-se a lembrar aos vivos visceralmente quem era essa pessoa em vida, quem essa pessoa ainda era agora na morte, e acender a luz da lembrança contínua para que os "mortos" vivessem em êxtase eternamente. Na Grécia antiga, a morte era derrotada, não pelos deuses, mas pela ação humana da memória.

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Nota do colaborador: este artigo foi publicado pela primeira vez no site Suite 101. C. 2008 Joshua J. Mark


Gregos antigos: vida cotidiana, crenças e mitos

Quando alguém morria na Grécia Antiga, era lavado. Uma moeda seria colocada em sua boca para pagar os barqueiros que levaram os mortos através dos rios nas diferentes partes do Mundo Inferior. Quando os gregos conquistaram o Egito, eles adotaram a tradição egípcia de mumificação. Eles usaram caixas simples para enterrar seus mortos ou os falecidos seriam queimados e suas cinzas enterradas em um pote especial.

Tumbas e lápides

As entradas para os túmulos, onde os mortos descansavam, eram feitas de mármore. Cabeças de Górgonas foram esculpidas nas portas da tumba para afastar o mal. As tumbas foram feitas para evitar que os mortos fossem esquecidos e às vezes eram esculpidas com fotos, mostrando os falecidos com pessoas que conheceram em vida.

Dentro da tumba a família do falecido colocou junto com o corpo objetos de valor, como cerâmica, joias e moedas. Acreditava-se que eles seriam capazes de usar esses objetos no submundo. Todos os anos, famílias visitavam os túmulos de seus parentes mortos, fazendo oferendas e decorando o túmulo.


Vivendo a Morte da Grécia Antiga

O primeiro rito de passagem, ou prótese, significa colocar fora do corpo. (Imagem: Museu de Arte de Walters / domínio público)

Colocando-se nas sandálias de um grego moribundo

Os antigos gregos tinham certas idéias sobre a morte. Um dos motivos mais característicos que as pessoas encontram nas lápides da Grécia antiga é o aperto de mão entre os vivos e os mortos. Ambas as figuras exibem invariavelmente uma calma digna. É disso que se trata a tragédia grega - olhar a morte bem nos olhos. Como gregos, eles sabiam que coisas terríveis aconteciam e também sabiam que, ao confrontá-los de frente, seriam capazes de lidar com eles e seguir em frente com a vida. Pode-se afirmar que os gregos acertaram.

Mas é preciso colocar-se nas sandálias de um grego moribundo para entendê-lo. É um pensamento desagradável, mas não há como escapar dele se alguém quiser experimentar completamente o outro lado da história.

O papel de um médico na morte

Suponhamos que uma pessoa esteja morrendo em uma casa, cercada por parentes dela, incluindo crianças pequenas. Não haverá nenhum médico disponível para dar analgésicos.

Um médico pode ter oferecido tratamento nos estágios iniciais da doença, mas uma vez que se tornou inevitável que só poderia haver um resultado, a profissão médica não tinha mais nada a oferecer.

Também é extremamente improvável que um médico seja chamado para tirar alguém de uma miséria & # 8217s por eutanásia, uma palavra cunhada da etimologia grega que significa & # 8216bom morte & # 8217, mas que não tem equivalente no grego antigo. Na verdade, o Juramento de Hipócrates, que provavelmente foi amplamente adotado, ordenou aos médicos que o tomaram & # 8220 que não administrassem um veneno a ninguém que o pedisse e que não propusessem tal curso & # 8221. Então, vamos esperar que a doença final de alguém seja curta e indolor.

Esta é uma transcrição da série de vídeos O Outro Lado da História: Vida Diária no Mundo Antigo. Observe agora, Wondrium.

O papel dos deuses na morte

O poeta Keats tem uma linha maravilhosa em Ode a um Nightingale: “Tenho estado meio apaixonado pela morte fácil”. Os gregos conceberam uma morte tranquila na forma do Deus Apolo, que veio para abatê-los com suas chamadas & # 8216 flechas gentis & # 8217. Isso é o melhor que ele ou qualquer outro dos deuses tinha a oferecer. Eles certamente não tinham nenhum consolo para dar a alguém.

No jogo de Eurípides, o Hipólito, quando Hipólito está morrendo, a deusa Ártemis, a quem ele se dedicou exclusivamente durante toda a sua vida e com quem teve um relacionamento muito próximo, despede-se dele. Ela explica a ele que não é legal para uma divindade estar presente na morte porque a poluição que um cadáver libera iria contaminá-la.

O único deus que pode ter demonstrado algum interesse no destino dos moribundos é o Deus curador Asclépio. Quando Sócrates passa deste mundo para o próximo no diálogo de Platão, o Crito, ele disse: “Devo um galo a Asclépio. Veja se está pago. ” Os galos foram sacrificados a Asclépio. Sócrates pode estar indicando que Asclépio facilitou sua passagem, embora também seja possível que ele esteja apenas sugerindo filosoficamente que a morte é uma & # 8216cura & # 8217 para a vida.

O primeiro rito de passagem: prótese

na Grécia antiga, assim que uma morria, as mulheres de uma família começaram a gritar e a ulular para que todos na vizinhança soubessem da morte do indivíduo. Também foram as mulheres que se encarregaram do corpo de um deles e o prepararam para o enterro. Eles fecharam a boca e os olhos de um deles, amarraram uma tira de queixo ao redor da cabeça e queixo do 8217 para evitar que a mandíbula ficasse, lavaram todo o corpo, ungiram-no com azeite de oliva, vestiram o corpo e enrolaram em um lençol enrolado, deixando apenas uma cabeça do & # 8217s exposta.

Em seguida, deitaram o corpo em um sofá com a cabeça apoiada em um travesseiro e os pés voltados para a porta. Depois de fazer tudo isso, eles cantaram canções fúnebres em homenagem a uma pessoa.

Esta é a cena representada nos primeiros vasos gregos com decoração figurativa. É chamado de prótese, que significa literalmente a disposição do corpo. Representa a primeira etapa do processo que nos levará deste mundo ao próximo, & # 8216 daqui para lá & # 8217, como dizem os gregos. Enquanto isso, parentes e amigos visitavam a casa e se juntavam ao luto.

O segundo rito de passagem: Ekphora

O segundo rito de passagem é o ekphora. Ekphora significa literalmente & # 8216a realização de um & # 8217s corpo & # 8217 - especificamente de uma & # 8217s casa para um & # 8217s local de sepultamento. De acordo com a lei ateniense, o ekphora teve que acontecer dentro de três dias após a morte de um & # 8217s, embora em tempo quente seja provável que tivesse ocorrido muito antes. o ekphora teve que ocorrer antes do nascer do sol para que não fosse criar um incômodo público.

Se alguém fosse rico, seu corpo seria transportado em uma carroça ou carruagem puxada por cavalos. Esta cena também é representada nos primeiros vasos com decoração figurativa. Funerários profissionais também podem ser empregados para carregar o cadáver e abrir o terreno para o sepultamento. Esses profissionais eram conhecidos como & # 8216 homens da escada & # 8217 Klimakophoroi, porque eles colocaram o corpo de um & # 8217s em uma escada, que eles carregaram horizontalmente.

Se empreendedores profissionais fossem empregados, eles não teriam nenhum contato físico com os familiares antes desta fase. Os gregos teriam ficado chocados e horrorizados com a ideia de entregar o corpo de um profissional para prepará-lo para o enterro.

O terceiro rito de passagem: sepultamento

A cerâmica foi uma das mais
presentes da sepultura comum para os mortos. (Imagem: Museu Britânico / domínio público)

Foi um parente de um dos anos 82 que conduziu a cerimônia fúnebre. Nenhum sacerdote estava presente também. Os padres foram excluídos exatamente pela mesma razão que Ártemis se ausentou do moribundo Hipólito, para não incorrer em poluição. Porque se incorressem em poluição, eles poderiam transmiti-la aos deuses.

Absolutamente nada se sabe sobre os detalhes do serviço fúnebre. Verdade seja dita, nem mesmo se sabe se houve um serviço fúnebre propriamente dito. Se alguma palavra tradicional foi falada, ela não foi gravada. Tanto a inumação quanto a cremação eram praticadas, embora a cremação, por ser mais cara, fosse vista como de maior prestígio. Se alguém fosse cremado, então seus parentes recolheriam as cinzas e as colocariam em uma urna, que então eles enterrariam junto com os presentes do túmulo.

O presente mais comum para túmulos era a cerâmica. Na verdade, é por isso que tantos vasos gregos de alta qualidade sobreviveram intactos - porque foram colocados intactos no solo.

Com o tempo, porém, os gregos se tornaram mais mesquinhos. Provavelmente, se alguém morreu no século 4 a.C., tudo o que se obteria seriam alguns frascos de óleo conhecidos como lêkythoi cheio de azeite - o azeite era considerado um artigo de luxo. Alguns gregos, no entanto, eram tão mesquinhos que compraram lêkythoi com um recipiente interno menor para economizar o gasto de encher todo o vaso com óleo. Supostamente, eles pensaram que os mortos não notariam.

Assim que a sepultura foi preenchida, eles & # 8217d erigiram uma lápide sobre ela. Depois de completar o terceiro e último rito de passagem, todos os enlutados voltariam para a casa de luto para um banquete comemorativo.

As leis funerárias

Uma vez que o cadáver de um & # 8217s era considerado uma fonte de poluição, a palavra grega para poluição é miasma, que significa quase o mesmo em inglês - um teve que ser enterrado fora das muralhas da cidade. Na Grécia antiga, o sepultamento dentro de um assentamento era extremamente raro após o século VIII a.C. O mesmo acontecia com Roma. O mais antigo código da lei romana, a Lei das Doze Tábuas, datada de 450 a.C., contém a cláusula: “Os mortos não serão enterrados ou queimados dentro da cidade”.

Não é certo, mas as origens da crença na poluição podem estar ligadas a uma espécie de senso primitivo de higiene. Os parentes do falecido e qualquer outra pessoa que tivesse entrado em contato com o cadáver foram impedidos de participar de quaisquer atividades fora de casa até que o cadáver fosse submetido à purificação.

A reintegração na comunidade para os enlutados não aconteceu até várias semanas após o funeral. Os parentes do One & # 8217s também tiveram que tomar medidas para evitar que o efeito poluente de um cadáver de um homem se infiltrasse na comunidade. Isso incluía fornecer uma tigela com água trazida de fora da casa para que os visitantes pudessem se purificar ao sair.

Perguntas comuns sobre como viver a morte da Grécia Antiga

Os três estágios são o lay out ou a prótese, o cortejo fúnebre ou a ekphora, e o enterro ou enterro.

Os gregos honraram os mortos seguindo os três ritos de passagem, construindo os túmulos em Ceramicus, o bairro Potter & # 8217s, e oferecendo os bens do túmulo.

Os gregos se preparavam para a vida após a morte, seguindo os três ritos de passagem e oferecendo os bens da sepultura.

De acordo com a lei funerária na Grécia antiga, um tinha que ser enterrado fora dos muros da cidade.


Crenças romanas sobre a vida após a morte

Os funerais dos mortos decorreram de forma bastante organizada. Isso foi feito principalmente pelos profissionais. O profissional providenciou o luto pelas mulheres, algumas formas de dança e música também acompanharam. Houve uma diferença em como o funeral aconteceu para os pobres e para as pessoas ricas.

Para os pobres, o funeral foi uma coisa que aconteceu de uma forma muito simples e para os ricos, o funeral aconteceu em grande escala e foi uma cerimônia bastante fantástica.

Havia pessoas que usavam máscaras e eram elas que andavam de carruagem. Romanos faziam sepultamento ou cremação. Em caso de cremação, os mortos eram cremados em uma pira. Os presentes e os pertences pessoais da pessoa foram mantidos com ele em seu túmulo.

E no caso da humanização, os corpos foram protegidos. Essa proteção foi feita com a ajuda de um saco, uma estrutura semelhante a madeira, etc.


Vida após a morte

Referências variadas

A crença na vida após a morte, mantida por cada uma das religiões abraâmicas, levanta a questão metafísica de como a pessoa humana deve ser definida. Alguma forma de dualismo mente-corpo, seja platônico ou cartesiano, em que a mente ou alma sobrevive à morte do ...

… Fornece um argumento para uma vida após a morte em que as injustiças e desigualdades da vida presente são remediadas.

Religiões indígenas americanas

As crenças dos astecas a respeito do outro mundo e da vida após a morte mostraram o mesmo sincretismo. O antigo paraíso do deus da chuva Tlaloc, retratado nos afrescos de Teotihuacán, abriu seus jardins para aqueles que morreram por afogamento, raio ou como resultado ...

… A maioria dos grupos acreditava na vida após a morte. Em geral, pensava-se que as almas dos recém-falecidos pairavam ao redor da comunidade e tentavam induzir amigos próximos e parentes a se juntar a eles em sua jornada para a eternidade, assim, os elaborados ritos funerários e os extensos tabus associados à morte ...

Religiões europeias antigas

Eles acreditavam em uma vida após a morte, pois enterravam alimentos, armas e ornamentos com os mortos. Os druidas, os primeiros sacerdotes celtas, ensinavam a doutrina da transmigração de almas e discutiam a natureza e o poder dos deuses. Os irlandeses acreditavam em um outro mundo, às vezes imaginado como subterrâneo ...

… E uma imagem imaginativa da vida após a morte. Os vivos eram perpetuamente obcecados por seu cuidado com os mortos, expresso em tumbas elaboradas, magnificamente equipadas e decoradas e sacrifícios pródigos. Pois, apesar das crenças em um submundo, ou Hades, também havia a convicção de que a individualidade dos mortos de alguma forma ...

… Aludiu ao tipo de vida após a morte que era esperado para o falecido. O conceito de vida após a morte semelhante ao Elysium prevaleceu no período arcaico, mas nos séculos seguintes cada um encontra uma ênfase crescente no reino mais sombrio do submundo. Afrescos mostram seu governante, Hades (etrusca Aita), vestindo uma pele de lobo ...

Nenhuma concepção unificada da vida após a morte é conhecida. Alguns podem ter acreditado que guerreiros caídos iriam para Valhalla para viver felizes com Odin até o Ragnarök, mas é improvável que essa crença fosse generalizada. Outros pareciam acreditar que não havia vida após a morte. De acordo com o “Hávamál”, qualquer ...

… Acreditava-se, no reino de Hades por Hermes, mas o caminho foi barrado, de acordo com relatos populares, pelo pantanoso rio Styx. Do outro lado, Caronte transportou todos os que haviam recebido pelo menos um enterro simbólico, e moedas foram colocadas na boca dos cadáveres para pagar a passagem.

... coisas últimas, especialmente a morte e a vida após a morte) com suas descobertas, eles investiram música, geometria e astronomia com valores religiosos. De acordo com sua doutrina, o lar original da alma estava nas estrelas. De lá, ele caiu na terra e foi associado ao corpo. Assim, o homem era um estranho em ...

... a maioria das ideias dos romanos sobre a vida após a morte, a menos que acreditassem nas promessas das religiões misteriosas, eram vagas. Essas idéias muitas vezes representavam uma esperança cautelosa ou medo de que o espírito, de alguma forma, continuasse vivo, e isso às vezes era combinado com uma ansiedade de que os fantasmas dos mortos ...

Religiões antigas do Oriente Próximo e do Oriente Médio

… Para a tumba e o próximo mundo. Os reis egípcios são comumente chamados de faraós, de acordo com o uso da Bíblia. O termo faraó, no entanto, é derivado do egípcio por ʿaa (“Grande propriedade”) e data da designação do palácio real como instituição. Este termo para palácio foi usado ...

A crença em uma vida após a morte e uma passagem para ela é evidente nos sepultamentos pré-dinásticos, que são orientados para o oeste, o domínio dos mortos, e que incluem os bens da sepultura de cerâmica, bem como os pertences pessoais do falecido. O desenvolvimento mais notável da prática mortuária posterior foi ...

... noção indo-européia comum do além, retratada como uma pastagem com gado "para o qual o rei morto parte". Isso sugere que os antepassados ​​indo-europeus dos falantes posteriores de hitita, palaico e luwian, bem como os de membros menores deste grupo, entraram na Anatólia juntos, após ...

Religiões modernas

... da continuação pessoal da vida após a morte. Muitos primeiros cristãos batizados estavam convencidos de que não morreriam, mas ainda assim experimentariam o advento de Cristo em suas vidas e iriam diretamente para o Reino de Deus sem morte. Outros estavam convencidos de que passariam pelo ...

... a capacidade de destruir e trazer de volta à vida todas as criaturas, que são limitadas e estão, portanto, sujeitas ao poder ilimitado de Deus.

… Surgiu a crença em uma vida após a morte, pela qual os mortos seriam ressuscitados e seriam submetidos ao julgamento divino. Antes disso, o indivíduo tinha que se contentar com a continuidade de sua posteridade na nação sagrada. Mas, mesmo após o surgimento da crença na ressurreição dos mortos, o essencialmente étnico…

… Pode ter continuado a existir, mas não era para ser mais entendido como vida. A existência dos mortos no Sheol, o mundo dos mortos, não era viver, mas a sombra ou eco da vida. Para a maioria dos escritores bíblicos, essa existência foi sem experiência, seja de Deus ou de qualquer coisa ...

… Posição extremamente sutil que igualou a imortalidade com a clivagem do intelecto humano ao intelecto ativo do universo, limitando-se assim aos filósofos ou àqueles que aceitaram uma teologia filosófica adequada sobre a fé. Pouco ou nenhum consenso era evidente no período moderno, embora a linguagem de ...

... crença, cada pessoa após sua morte torna-se um kami, um ser sobrenatural que continua a ter uma parte na vida da comunidade, nação e família. Homens bons tornam-se bons e benéficos kamis, homens maus tornam-se perniciosos. Ser elevado ao status de ser divino não é ...

… Destino aguardando indivíduos na vida após a morte. Cada ato, fala e pensamento são vistos como relacionados a uma existência após a morte. O estado terreno está conectado com um estado além, no qual o Senhor da Sabedoria recompensará as boas ações, palavras e pensamentos e punirá os maus. Este motivo para ...

Aspectos teológicos

Conceito de

… O dom da imortalidade nesta vida após a morte foi buscado primeiro pelos faraós e depois por milhões de pessoas comuns. O segundo era o conceito de um julgamento post-mortem, no qual a qualidade de vida do falecido influenciaria seu destino final. A sociedade egípcia, já foi dito, consistia em ...

… Alma com sobrevivência pessoal ou continuidade após a morte, há uma visão igualmente antiga que enfatiza a continuidade da vida. Esta visão, à qual o antropólogo holandês Albertus Christiaan Kruyt deu o termo alma (um termo que ele contrastou com a alma post-mortem), é encontrada principalmente entre os cultivadores de arroz de ...

… Que a morte é seguida pela vida eterna em outro lugar - no Sheol, inferno ou céu - e que eventualmente haverá uma ressurreição física universal. Outros (por exemplo, budistas, órficos, pitagóricos e Platão) afirmam que as pessoas renascem no fluxo temporal da vida na Terra

Para dar aos mortos uma nova vida além do túmulo, os enlutados podem permitir que o sangue vivificante caia sacramentalmente sobre o cadáver. Neste ciclo de ideias e práticas sacramentais, a doação, conservação e promoção da vida, juntamente com o estabelecimento de um vínculo de união com a ordem sagrada, são ...

... é apelar para uma vida após a morte, as dificuldades desta vida, sejam causadas pelo mal natural ou pelo mal moral, não são nada comparadas com as recompensas que virão, e são um fator necessário na preparação de alguém para a vida após a morte por meio do treinamento moral e maturação. Está linha…


O teatro na Grécia Antiga

O teatro na Atenas antiga era realizado na ágora. Mais tarde, os eventos teatrais tornaram-se tão grandes que foram transferidos para um auditório ao ar livre abaixo da Acrópole ateniense. Auditórios ao ar livre foram construídos na maioria das cidades gregas, algumas com capacidade para 15.000 espectadores.

As apresentações de teatro tornaram-se parte do festival religioso a Dionísio, o deus do vinho. O festival durou cinco dias e teve até três dramas completos apresentados em um dia. Os dramas foram julgados em concursos, e os atores e dramaturgos vencedores receberam prêmios. Os dramas foram patrocinados por cidadãos ricos conhecidos como choregoi.

Três tipos de peças foram desenvolvidas na Grécia antiga: a tragédia, a comédia e a sátira. Uma tragédia foi sobre heróis e deuses gregos. As tramas freqüentemente mostravam conflitos entre homens e deuses, e os finais eram freqüentemente ruins para os personagens principais. As comédias eram frequentemente histórias de base política ou continham conflitos entre homens e mulheres. Eles foram feitos para serem uma diversão leve. As sátiras costumavam ser histórias espirituosas, cortantes e irônicas que zombavam dos vícios e da loucura humanos.

As primeiras peças foram encenadas com apenas um ator, mas os elencos foram posteriormente expandidos para incluir três atores. Os atores usavam máscaras que sinalizavam ao público a identidade e, possivelmente, o humor do personagem em determinado momento ou cena da peça. Um ator desempenhou vários papéis, mudando as máscaras para retratar personagens diferentes. Os trajes do ator e rsquos sinalizaram o humor e as características do personagem. Roupas mais escuras foram associadas ao personagem trágico, e roupas leves foram associadas a papéis felizes ou engraçados.


A história do jogo na Grécia Antiga

As formas modernas de jogo remontam a muitas culturas antigas, da China ao Egito e além.

No entanto, a verdade é que a Grécia antiga desempenhou um papel maior no desenvolvimento das formas modernas de jogo do que a maioria dos lugares.

Um olhar sobre as origens do jogo na Grécia

Você não esperaria cassinos com as máquinas caça-níqueis de maior pagamento, mas a Grécia Antiga tinha seus próprios meios de fazer apostas.

Jogos de azar baseados no lançamento de dados e moedas foram mencionados em alguns livros e histórias da Grécia Antiga. Algumas fontes sugerem que o jogo de pôquer também pode ter começado aqui, embora outros pensem que ele foi jogado pela primeira vez na China ou na Pérsia.

Dados icosaedronais da Grécia Antiga

O que não se pode negar é que o jogo era muito popular nesta cultura, com lugares especiais onde os jogadores podiam ir para fazer algumas apostas. Podemos ver isso em esculturas e pinturas também, com gente apostando em lutas e corridas.

Curiosamente, os Deuses Hermes e Pã são ditos ter feito apostas, enquanto Zeus, Poseidon e Hades decidiram como dividir o mundo tirando palhas. No entanto, alguns filósofos gregos eram contra o jogo e pensavam que isso prejudicaria a civilização se não fosse controlado.

Alguns dos jogos mais populares

Um dos jogos frequentemente mencionados como sendo populares nos velhos tempos na Grécia é Cara e Coroa. Este foi primeiro jogado com conchas, antes que a introdução de moedas tornasse mais fácil apostar em qual lado ficaria voltado para cima. Pitch and Toss era um jogo que envolvia jogar moedas na parede.

Talvez o jogo mais simples de todos seja o chamado Par Impar Ludere. Um jogador segurava um monte de pequenos itens em uma das mãos e a outra pessoa tinha que adivinhar se o número total de objetos era ímpar ou par. Os gregos apostavam no resultado, e isso também se tornou popular no Império Romano. Acredita-se que os jogos de azar também tenham sido um fator importante nos primeiros Jogos Olímpicos

Alega-se que Palamedes inventou dados quando Tróia estava sob cerco e que isso levou seus dados a serem usados ​​em um Templo da Fortuna em Corinto. No entanto, isso parece ser apenas uma lenda, já que a primeira menção de dados na Grécia pode ser rastreada até 6000 AC.

Uma teoria que perpassa o amor dos antigos gregos pelo jogo é que os Deuses controlavam os jogos. Até mesmo o resultado de um jogo de pura sorte, como o lançamento de dados, era considerado nas mãos dos deuses.

Astragali grego antigo usado para jogos de azar

Jogos de azar modernos na Grécia

Se avançarmos no tempo até os dias de hoje, podemos ver que o jogo na Grécia é legal em estabelecimentos terrestres. Todas as grandes cidades tendem a ter alguns cassinos, enquanto as ilhas que são populares entre os turistas também oferecem cassinos aos visitantes.

Entre os cassinos mais famosos do país está o Mont Parnes Regency Casino de Atenas. Ele data da década de 1960 e está localizado na Floresta Nacional de Parnitha. Um luxuoso marco da capital, este é um cassino estiloso com muitas maneiras diferentes de jogar.

Aparentemente, o casino mais antigo da Grécia foi construído em Loutraki no início do século XX. A maioria dos cassinos modernos aqui são estabelecimentos refinados e exclusivos onde os jogadores podem apostar com conforto.

A comissão grega de jogos de azar controla as apostas no país, enquanto os jogadores na Grécia podem acessar de forma fácil e segura uma grande variedade de cassinos online e sites de apostas esportivas de operadores estrangeiros. Isso significa que atualmente as pessoas podem apostar em jogos como futebol, tênis e basquete online.

No entanto, ainda é uma área cinzenta, já que os reguladores gregos e os tribunais europeus produziram opiniões diferentes sobre a legalidade do jogo online na Grécia.

Portanto, vale a pena ficar atento a quaisquer futuras alterações à legislação neste setor em rápida evolução que possam ter um efeito sobre os jogadores gregos.


A vida grega retratada no épico de Homero e do século 39: a odisséia

No épico de Homero, A Odisséia, vários aspectos dos gregos antigos são revelados por meio de ações, personagens, enredo e palavras. Homero usa sua habilidade como dramaturgo, poeta e filósofo para informar o público sobre a história, orgulho e conquistas dos gregos antigos e, também, para falar sobre os muitos valores e a cultura multifacetada da casta grega antiga . Os gregos tinham numerosos valores e costumes, dos quais os princípios básicos são as características mentais de um indivíduo, as características físicas de um indivíduo, as recreações e passatempos que os gregos desfrutavam, a maneira como um anfitrião trata um convidado, os aspectos religiosos, e, finalmente, a visão dos gregos sobre a vida, revelada na Odisséia que mostra e define sua cultura.

Uma das características mentais mais proeminentes que os antigos gregos valorizavam era a inteligência e a inteligência de um indivíduo. Isso pode ser discernido da Odisséia por causa de muitos casos e eventos em que Odisseu usa a inteligência de seu cérebro e outros truques para sair de uma situação de risco. Exemplos disso são quando ele diz a Polifemo, o Ciclope, que seu nome é Ninguém, quando ele vence a magia de Circe com a ajuda de Moly, quando ele enche os ouvidos de seus homens com cera e se amarra a um poste para que ele e seus homens possam sobreviver as sereias com segurança, e quando ele se disfarça de mendigo e revela sua verdadeira identidade a poucos. Odisseu é “de longe o melhor dos homens mortais para conselhos e histórias” (Bk. XIII, 297-298). Além disso, diz-se que Odisseu é capaz de se igualar a um deus em inteligência e malandragem (Livro XIII, 291 - 295). Penélope, a esposa de Odisseu, também usa sua inteligência e malandragem para se livrar das situações. Um exemplo disso é quando ela finge estar tecendo uma mortalha para Laertes, mas na verdade desfaz à noite tanto quanto havia feito pela manhã. Atena, a deusa da sabedoria, fornece outro exemplo do uso da inteligência e dos truques. Atena disfarça Odisseu de mendigo e também o cerca com uma névoa várias vezes para que seus antigos conhecidos não o vejam ou o reconheçam.

Outras características mentais significativas que os gregos valorizavam são a fidelidade e a lealdade. Existem muitos, muitos exemplos de lealdade e fidelidade na Odisséia. Os quatro exemplos mais significativos são Penelope, Eumaios, Philoitois e Argos. Penélope é a esposa fiel de Odisseu, que nunca dormiu com ninguém além de Odisseu, embora tenha sido tentada. Ela também mantém a esperança de que Odisseu ainda esteja vivo e um dia volte para casa. Eumaios é o leal pastor de porcos que ajuda Odisseu a vencer os pretendentes. Philoitois é o rebanho de bois leal que também ajuda Odisseu a vencer os pretendentes. Argos é o “cachorro de coração paciente” (livro XVII, 292) de Odisseu. Odisseu testa esses indivíduos (exceto o cachorro) para decidir se pode confiar neles ou não. Ele também testa outras pessoas, como os servos, para descobrir se são leais a ele ou não.

As características físicas eram tão importantes para os gregos quanto as características mentais. A força era uma das características físicas mais apreciadas. A força era um teste comum e usada para avaliar o lugar de um homem no mundo real. Penelope usou a força como um teste para a competição pelos pretendentes. A competição era conseguir amarrar o arco de Odisseu e dispará-lo com precisão, o prêmio (casamento de Penélope) indo para “aquele que pegar o arco em suas mãos, armar com mais facilidade e lançar uma flecha limpa através de todos os doze eixos ”(Bk. XXI, 75-76). A força também fazia parte da competição do Phaiakian. A força era necessária para o lançamento do disco (no qual Odisseu se destacava), luta livre e boxe. Além disso, os gregos adoravam a competição, comprovado pelo fato de incitarem Odisseu e Iros a lutar. E quando eles finalmente viram sangue, eles enlouqueceram, rindo e torcendo como se fosse a coisa mais emocionante do mundo.

Os gregos gostavam de muitas recreações e passatempos, dos quais predominavam dançar, cantar e contar histórias. Os Phaiakians eram conhecidos por suas habilidades terpsicóricas e, como disse Odisseu, maravilhava-se e admirava-o quando ele assistia à dança (Livro VIII, 382-384). Cantar também era uma recreação muito apreciada. Os cantores eram bem conhecidos e amados por todos. Como Odisseu disse a Demodokos: “Demodokos, acima de todos os mortais além de eu te prezo” (Livro VIII, 487). O único sobrevivente daqueles que conspiraram contra Odisseu foi Phemios, o cantor dos pretendentes. Ele sobrevive porque Odisseu permite que ele viva por causa de seu dom da voz dos deuses. Como diz Telêmaco sobre os pretendentes: “É só nisso que eles pensam, a lira e o canto” (Livro 1, 159). Contar histórias é outra virtude e é valorizado pelos gregos. Menelau fala de suas aventuras a Telêmaco, Odisseu fala de suas aventuras aos Faiakianos e Odisseu fala de suas falsas aventuras a Eumaios. Outro passatempo de que os gregos gostavam muito é festejar ou, em termos grosseiros, comer e beber. Os pretendentes sempre comem e fornecem bastante, embora comam gado de Odisseu e bebam o vinho de Odisseu. Eles têm muitos concursos de bebida para ver quem consegue beber mais e, geralmente, no final os competidores geralmente tornam-se bacanais. Os pretendentes sempre têm um “desejo de comer e beber” (Bk. 1, 150) de acordo com Telêmaco.

O tratamento de um convidado era muito importante nos tempos dos antigos gregos. Definiu a sua classe social e também o ajudou a favor de Zeus, que é o deus dos viajantes e hóspedes. Uma ampla gama de coisas pode ser classificada como hospitalidade, mas a ideia geral é sempre a mesma e não pode mudar. Hospitalidade era dar a qualquer estranho comida, calor, abrigo e conforto antes de fazer perguntas como seu nome, herança ou meio de transporte. Hospitalidade também significava um ouvido para cada palavra e respeito por cada palavra também. Além disso, o anfitrião é responsável por ser a égide do hóspede enquanto este residir em sua casa. Telêmaco sente que não pode providenciar isso para seu pai (disfarçado de mendigo) e, portanto, tem vergonha. “Como posso receber e entreter um convidado estranho em minha casa? Eu mesmo sou jovem e não tenho fé na força de minhas mãos para defender um homem, se alguém começar uma briga com ele (Bk. XVI, 69-72). Exemplos de boa hospitalidade abundam em toda a Odisséia, como quando Atena vai para Telêmaco em Ítaca, quando Telêmaco vai para Nestor, quando Telêmaco vai para Menelau, quando Odisseu vai para os Faiaquianos e quando Odisseu vai para Eumaios. Os presentes na chegada são esperados, mas os presentes na saída nem sempre estão presentes. No entanto, no caso de um anfitrião rico, generoso ou amigo, os presentes, mesmo aqueles de valores incalculáveis ​​e imensos, podem ser trocados.

As crenças religiosas e os aspectos da cultura grega antiga são muito definidos e rígidos. Os gregos acreditavam que o mundo era vigiado por Zeus e outros deuses do Olimpo, e que esses deuses decidiam seu futuro. Eles também acreditavam que a vontade dos deuses poderia ser transformada com sacrifícios. É por isso que Odisseu, Telêmaco e muitos outros personagens fizeram tantos sacrifícios aos deuses. Esses personagens também oram aos deuses para que os deuses possam ouvi-los e realizar seus desejos. Os gregos também acreditavam na “vida” após a morte no submundo com Hades. Outro aspecto religioso da cultura grega eram as profecias. Profecias e profetas eram abundantes, mas o suprimento de profecias e profetas corretos era muito menos abundante, e a demanda por eles era alta, tornando-os escassos. Os dois principais profetas da Odisséia foram Tirésias e Teoklymenos. Tirésias era um profeta morto que Odisseu foi consultar no submundo. Ele profetizou a maioria dos aspectos da jornada de Odisseu com precisão e por causa dele, Odisseu foi capaz de sobreviver às suas andanças. Theoklymenos era um profeta de uma família de profetas. Ele poderia profetizar com bastante precisão a partir de augúrios de pássaros, como mostrado quando ele profetiza que Telêmaco “terá poder senhorial para sempre” (Livro XV, 534). Homero usa alguns augúrios de pássaros em A Odisséia, um no início para alertar os pretendentes do retorno de Odisseu (Bk. II, 146 - 154), e dois perto do final, ambos para simbolizar o triunfo de Odisseu sobre os pretendentes.

Os antigos gregos tinham uma visão otimista da vida, uma visão que traz finais agradáveis ​​e felizes, mas infelizmente não muito realistas. Os gregos acreditavam que no final de qualquer dificuldade ou resistência, a justiça surgiria e mostraria seu sorriso vitorioso à vítima. Eles acreditavam que persistência e determinação viriam no final. Os gregos também acreditavam que, em uma batalha entre o bem e o mal, o bem triunfará no final. A visão de que o bem triunfa contra o mal pode ser vista no épico quando Odisseu (bom) mata todos os pretendentes (mau) contra probabilidades virtualmente impossíveis. A visão de que a justiça surgirá no final é mostrada na Odisséia, quando todos os servos e criadas infiéis são mortos.A visão de persistência e determinação de sucesso é comprovada pelo fato de que Odisseu "que, depois de muito sofrimento, veio pelo menos no vigésimo ano de volta ao seu próprio país" (Bk. XXIII, 101 - 102) sobreviveu a todos os seus naufrágios, ataques , e outros obstáculos e, finalmente, consegue voltar para casa.

Ao longo de A Odisséia, os valores gregos e a cultura grega são constantemente moldados pelo fluxo da caneta do autor, que narra uma história com um enredo intrincado. A epopéia permite ao público moderno saber sobre os tempos em que os homens lutavam com as mãos e com a cabeça, quando os deuses dominavam as culturas e quando o amor e a fidelidade significavam algo. A Odisséia é uma grande obra de um grande poeta, Homero, que não só capta a essência do espírito e da cultura da Grécia Antiga, mas também conta uma história que pode ser passada de geração em geração, sem medo de envelhecer.


Seções cônicas na Grécia Antiga

O conhecimento das seções cônicas pode ser rastreado até a Grécia Antiga. Menaechmus é creditado com a descoberta de seções cônicas por volta dos anos 360-350 a.C. é relatado que ele os usou em suas duas soluções para o problema de "dobrar o cubo". Seguindo o trabalho de Menaechmus, essas curvas foram investigadas por Aristaeus e de Euclides. A próxima grande contribuição para o crescimento da teoria da seção cônica foi feita pelo grande Arquimedes. Embora ele tenha obtido muitos teoremas relativos às cônicas, não parece que ele publicou qualquer trabalho dedicado exclusivamente a eles. Apolônio, por outro lado, é conhecido como o "Grande Geômetro" com base em seu texto Seções Cônicas, uma série de oito "livros" (ou em termos modernos, "capítulos") sobre o assunto. Os primeiros quatro livros chegaram até nós no grego antigo original, mas os livros V-VII são conhecidos apenas por uma tradução árabe, enquanto o oitavo livro foi totalmente perdido.

Nos anos que se seguiram a Apolônio, a tradição geométrica grega começou a declinar, embora houvesse desenvolvimentos na astronomia, trigonometria e álgebra (Eves, 1990, p. 182). Pappus, que viveu por volta de 300 d.C., aprofundou o estudo das seções cônicas de maneira secundária. Depois de Pappus, no entanto, as seções cônicas foram quase esquecidas por 12 séculos. Não foi até o século XVI, em parte como consequência da invenção da impressão e da disseminação resultante da obra de Apolônio, que qualquer progresso significativo na teoria ou nas aplicações das seções cônicas ocorreu, mas quando ocorreu, na obra de Kepler, foi como parte de um dos maiores avanços na história da ciência.

Este artigo investigará a história das seções cônicas na Grécia antiga. Examinaremos o trabalho dos mencionados matemáticos relevantes para as seções cônicas, com atenção específica para o texto de Apolônio sobre as seções cônicas.

Pappus e Proclus

Pode parecer estranho começar com esses números tardios, mas o significado de Pappus e Proclus precisa ser estabelecido com antecedência. Embora Pappus de Alexandria fosse um matemático e geômetra competente, estamos interessados ​​aqui em seu trabalho como comentarista matemático e historiador da matemática. Residindo principalmente em Alexandria, cerca de 500 anos depois que Euclides, Arquimedes e Apolônio agraciaram a cena intelectual, Pappus escreveu vários comentários sobre as obras de muitos grandes matemáticos do passado (isto é, de seu passado!). Uma de suas contribuições mais importantes foi sua coleção matemática, uma série de oito livros que incluía comentários e notas históricas, bem como várias proposições originais e extensões de obras existentes. No Livro VII, ele discute doze tratados do passado que incluíam as Seções Cônicas de Apolônio, os Loci da Superfície de Euclides e os Loci Sólidos de Aristaeus (Eves, 1990, p. 183-4). Pappus nos dá uma grande visão sobre as vidas e obras dos geômetras gregos. Ele teve acesso a trabalhos que agora se perderam e, além de ser um matemático habilidoso por seus próprios méritos, ele fornece um link valioso para a geometria grega antiga.

Proclus, que viveu durante o século V d.C., também foi um notável historiador matemático. Como Pappus, ele teve acesso à documentação original da matemática das eras clássica e helenística que não está mais disponível. Seu Resumo Eudêmico é uma fonte inestimável de informações sobre os primeiros trabalhos matemáticos gregos até Euclides (Eves, 1990, pp. 74-75). Sua autoridade será invocada neste artigo, particularmente ao examinar a influência de Aristeu e Euclides.

Menaechmus

Segundo a tradição, a ideia das secções cónicas surgiu da exploração do problema da "duplicação do cubo". Esse problema, e a história que o acompanha, são apresentados em uma carta de Eratóstenes de Cirene ao rei Ptolomeu Evérgetes, que chegou até nós conforme citado por Eutocius em seu comentário sobre a esfera e o cilindro de Arquimedes, que aparece em Heath. Eratóstenes disse ao rei que o lendário Rei Minos desejava construir uma tumba para Glauco e sentiu que suas dimensões atuais - trinta metros de cada lado - eram inadequadas.

    Seu plano é muito pequeno para cercar uma tumba real. Que seja o dobro de sua forma justa. Não falhe, mas se apresse em dobrar todos os lados.

Claramente, dobrar todos os lados aumentará o volume por um fator de oito, não pelo fator desejado de dois. Os matemáticos trabalharam diligentemente neste problema, mas estavam tendo uma enorme dificuldade em resolvê-lo. Um avanço de um tipo ocorreu quando Hipócrates de Chios reduziu o problema ao problema equivalente de "duas proporções médias", embora essa formulação não fosse mais fácil de manusear do que a anterior (Heath, 1961, p. Xviii). Eratóstenes continuou mencionando os Delianos, que tinham interesse exatamente no mesmo problema de "dobrar um cubo". Quando eles chamaram os geômetras da Academia de Platão em Atenas para uma solução, dois geômetras encontraram respostas para o problema das proporções médias equivalentes. Arquitas de Tarento usava "semicilindros" e Eudoxus usava "linhas curvas". Essas soluções, no entanto, apenas deram demonstrações da existência do número desejado como uma quantidade geométrica, mas eles não puderam realmente construir a proporção média mecanicamente, de modo que não chegaram ao ponto de aplicação prática até Menaechmus, que o alcançou com considerável dificuldade (Heath, 1961, pp. xvii-xviii).

A menção acima das proporções médias de Hipócrates é interessante. O que isso significa é que, dados dois comprimentos aeb, encontramos xey tais que a: x :: x: y e x: y :: y :: b, ou na notação moderna a / x = x / y = y / b se denotarmos esta razão por r, então r ^ 3 = (a / x) (x / y) (y / b) = a / b, e como Hipócrates observou, que se o segmento a é duas vezes enquanto o segmento b, então a duplicação do cubo seria resolvida usando o comprimento r. Desnecessário dizer que ele não tinha uma notação algébrica capaz de sustentar o argumento na forma que demos e teve que argumentar diretamente.

Menaechmus foi aluno de Eudoxus, contemporâneo de Platão (Heath, 1921, p. 251). Muito do que sabemos sobre a obra de Menaechmus vem dos comentários de Eutocius, um estudioso grego que discutiu as obras de muitos matemáticos de sua época e de épocas anteriores, incluindo Menaechmus, Arquimedes e Apolônio. Em suas soluções, Menaechmus essencialmente encontra a interseção de (ii) e (iii) (ver Solução 1, abaixo), e então, alternativamente, a interseção de (i) e (ii) (ver Solução 2, abaixo). A prova de Menaechmus trata do caso geral das proporções médias. Assim que tivermos isso, podemos considerar o caso especial a = 2b para dobrar o cubo. Antes de dar essas duas soluções, deve-se notar que Menaechmus não usou os termos "parábola" e "hipérbole" - esses termos são devidos a Apolônio. Em vez disso, ele chamou uma parábola de "seção de um cone em ângulo reto" e uma hipérbole de "seção de um cone em ângulo obtuso" (Heath, 1921, p. 111).

    Solução 1:
  • Sejam AO, AB duas linhas retas dadas, de modo que AO> AB e formem um ângulo reto em O.
  • Suponha que o problema seja resolvido e deixe as duas proporções médias serem OM medidas ao longo do BO produzido e ON medido ao longo do AO produzido. (Heath, 1921, p. 253).
  • Complete o retângulo OMPN.
  • Porque AO: OM = OM: ON = ON: OB, temos por multiplicação cruzada as seguintes relações:
  • (1) OB.OM = LIGADO & sup2 = PM & sup2 [o "." refere-se à multiplicação], de modo que P reside em uma parábola que tem O como seu vértice, OM como seu eixo e OB como seu latus reto.
  • (2) AO.OB = OM.ON = PN.PM, tal que P repousa sobre uma hipérbole com O como seu centro, e OM e ON como suas assíntotas.
  • Para encontrar o ponto P, devemos construir a parábola em (1) e a hipérbole em (2), e uma vez que o fizermos, a intersecção dos dois resolve o problema, para AO: PN = PN: PM = PM: OB .
    Solução 2:
  • Suponha que AO e AB sejam dados e o problema a ser resolvido como nas duas primeiras etapas da Solução 1.
  • Novamente, temos AO: OM = OM: ON = ON: OB, dando-nos
  • (1) como na solução 1, a relação OB.OM = ON & sup2 = PM & sup2, tal que P está em uma parábola que tem O como vértice, OM como eixo e OB como latus reto.
  • (2) a relação AO.ON = OM & sup2 = PN & sup2, tal que P reside em uma parábola que tem O como seu vértice, ON como seu eixo e OA como seu reto retal.
  • Para encontrar o ponto P, devemos construir as duas parábolas descritas em (1) e em (2). A interseção nos dá o ponto P tal que AO PN = PN: PM = PM: OB

Embora seja evidente que Menaechmus utilizou o que mais tarde ficou conhecido como seções cônicas, ele realmente tinha uma construção envolvendo um cone em mente quando resolveu o problema de dobrar o cubo? Heath argumenta que sim, pelo seguinte motivo. Na mesma carta de Eratóstenes a Ptolomeu mencionada acima, Eratóstenes afirmou, em conexão com uma discussão de sua própria solução para o problema, que não há necessidade de recorrer a "cortar o cone nas tríades de Menaechmus" (Heath, 1961, xviii). Além dessa citação que aparece no comentário de Eutocius sobre Arquimedes, Proclus confirma que as cônicas foram descobertas por Menaechemus (Heath, 1961, xix).

Agora que vimos como Menaechmus aplicou pela primeira vez as seções cônicas, pode-se perguntar: "Como ele pensou em obter essas curvas de um cone?". Embora não haja virtualmente nenhuma informação sobre esta questão em si, a intuição nos diz que as aguçadas habilidades de observação dos matemáticos gregos seriam atraídas por tais formas. É provável que a primeira seção cônica observada na natureza tenha sido uma elipse. Se alguém corta um cilindro em um ângulo diferente do ângulo reto em relação ao seu eixo, o resultado é uma elipse. Na verdade, Euclides observa em seus Phaenomena que um cone ou cilindro cortado por um plano não paralelo à base resulta em uma seção de um cone de ângulo agudo que é "semelhante a um [escudo]" (Heath, 1921, 125). Uma extensão natural desse fenômeno seria o corte de um cone de maneira semelhante. Então, talvez eles tenham movido o plano de corte para que ele não corte o cone completamente. Que tipos de curvas resultam? Como cada uma de suas propriedades é semelhante às outras seções? Como eles são diferentes? Esta é uma discussão possível, e provavelmente simplificada, do fluxo de ideias que levou ao estudo das seções cônicas.

Neugebauer sugere que a origem do conceito está na teoria dos relógios de sol, uma vez que o feixe de raios de luz envolvido no desenho dos relógios de sol é um cone que é cortado pelo plano do horizonte em uma hipérbole, e uma parte dessa hipérbole é então marcado no relógio de sol.

De acordo com Gêmeos, os antigos giravam um triângulo retângulo em torno de uma de suas pernas para determinar um cone. Além disso, apenas os cones certos eram conhecidos. Desses cones em ângulo reto, existem três tipos. Evidentemente, o ângulo vertical no topo do cone pode ser inferior a noventa graus, superior a noventa graus ou exatamente noventa graus (Heath, 1921, p. 111). Veremos mais tarde, quando estudarmos Apolônio, que há uma diferença fundamental nos tipos de cones que ele considera. O segmento que conecta o "ponto superior" do cone ao centro da base circular é sempre um ângulo reto. Apolônio considera que uma forma mais geral do cone não assume o ângulo reto (Heath, 1961, p. 1). Retornando aos cones especializados do relato de Gêmeos, esses cones foram chamados de cones de ângulos agudos, ângulos obtusos e retos (não confundir com cones retos, que se referem à revolução de um triângulo retângulo). Além dos dois nomes para hipérbole e parábola dados anteriormente, uma elipse era conhecida como uma "seção de um cone de ângulo agudo" (Heath, 1921, p. 111).

Nada se sabe sobre os métodos usados ​​por Menaechmus para lidar com essas curvas (Cajori, 1924, p. 27). Heath discute o que ele chama de método "provável", com base na suposição de que as construções de Menaechmus de suas curvas seriam provavelmente bastante simples e diretas, mas instrutivas o suficiente para demonstrar as propriedades salientes. Isso não será mais discutido. Felizmente, temos extensa documentação dos tratados de geômetras posteriores, notadamente Appolonius, sobre o assunto das seções cônicas.

Aristeu e Euclides

Em seguida, chegamos às obras (de novo, perdidas) de Aristeu, "o mais velho", e do célebre Euclides em seções cônicas. Como não temos as obras originais desses dois homens em seções cônicas, nosso conhecimento delas deriva dos comentários de Pappus, cujos escritos são discutidos em Heath, usando uma tradução de Hultsch:

Os quatro livros das cônicas de Euclides foram concluídos por Apolônio, que acrescentou mais quatro e produziu oito livros de cônicas. Aristeu, que escreveu os cinco livros ainda existentes de loci sólidos conectados com as cônicas, chamou uma das seções cônicas de seção de um cone de ângulo agudo, a outra de seção de um cone de ângulo reto e a terceira de seção de um cone obtuso. cone angular. Apolônio diz em seu terceiro livro que o 'locus com respeito a três ou quatro linhas' não tinha sido completamente investigado por Euclides e, de fato, nem o próprio Apolônio, nem qualquer outra pessoa poderia ter acrescentado nada ao que foi escrito por Euclides com o o auxílio apenas daquelas propriedades das cônicas que haviam sido provadas até o tempo de Euclides, o próprio Apolônio, é evidência desse fato quando diz que a teoria desse locus não poderia ser concluída sem as proposições que ele foi obrigado a elaborar por si mesmo. Ora, Euclides - considerando Aristeu como merecedor de crédito pelas descobertas que já fizera em cônicas, e sem antecipá-lo ou desejando construir de novo o mesmo sistema, sendo de modo algum contencioso e, embora exato, mas não fanfarrão como o outro - escreveu tanto sobre o locus quanto foi possível por meio das cônicas de Aristaeus, sem reivindicar integridade para suas demonstrações. (Heath, 1961, pp. Xxi-xxii)

Antes de discutir as implicações das palavras de Pappus, recorremos a Proclus para nos dar algumas dicas sobre o conceito de um "locus sólido". Ele define um locus como "uma posição de uma linha ou superfície envolvendo uma e a mesma propriedade" (Heath, 1961, p. Xxxii). Os loci são divididos em duas classes, "loci de linha" e "loci de superfície". Dentro da linha, os loci são "plane-loci" e "solid-loci". Os locais planos são gerados em um plano, como a linha reta. Os loci sólidos são gerados a partir de uma seção de uma figura sólida, isto é, a hélice cilíndrica e as seções cônicas. Pappus faz uma divisão do que Proclus chama de loci sólidos. Ele divide esta categoria em "loci lineares" e "loci sólidos", para não ser confundido com o que Proclus chama de loci sólidos. Os loci sólidos, para Pappus, são seções de cones (parábolas, elipses e hipérboles), e os loci lineares são linhas mais complicadas do que linhas retas, círculos e seções cônicas (Heath, 1961, p. Xxxiii).

Com esta informação, junto com a passagem de Pappus, Heath tirou várias conclusões sobre os trabalhos de Euclides e Aristaeus sobre seções cônicas. Primeiro, o tratamento de Aristaeus de loci sólidos concentrou-se em parábolas, elipses e hipérboles, ou seja, ele considerou as cônicas como loci. Em segundo lugar, o tratado de Aristaeus sobre loci sólidos veio primeiro e continha mais idéias e teoremas originais do que o de Euclides. Pappus diz que Euclides escreveu sobre a teoria básica das seções cônicas, visando suas proposições para preparar os leitores para analisar os loci sólidos de Aristaeus (Heath, 1961, p. Xxxii). Nessa mesma linha, Heath observa que "Cônicas de Euclides foi uma compilação e um rearranjo da geometria das cônicas até onde era conhecida em sua época, enquanto a obra de Aristaeus era mais especializada e mais original" (Heath, 1921, pp. 116 -7). Terceiro, Aristeu usou os termos "seção de cone em ângulo reto, ângulo agudo e cone obtuso", os nomes aceitos para essas curvas até Apolônio. Finalmente, As Cônicas de Euclides foi substituída por Seções Cônicas por Apolônio.

Além das idéias acima, uma chave para extrair do trabalho de Aristeu e Euclides é que eles foram uma fonte na qual os matemáticos basearam seus trabalhos, ou pelo menos os consultaram. Veremos isso em ação à medida que continuarmos nossa discussão com Arquimedes e Apolônio.

Arquimedes

"Nenhum levantamento da história das seções cônicas poderia ser completo sem um relato toleravelmente exaustivo de tudo o que diz respeito ao assunto que pode ser encontrado nas obras existentes de Arquimedes" (Heath, 1961, p. Xli). Não há evidência comprovada de que ele escreveu uma obra inteira dedicada às seções cônicas, mas seu conhecimento do assunto é óbvio nas obras que temos. Entre o tratado que Arquimedes publicou estava Quadratura da Parábola, Conóides e Esferóides, Corpos Flutuantes e Equilíbrio Plano. Essas obras compartilham um fio condutor - requerem o uso extensivo das propriedades das parábolas, especialidade de Arquimedes entre as seções cônicas (Heath, 1921, p. 124).

Heath diz que Euclides's Conics é a fonte provável da qual Arquimedes adota princípios básicos de cônicas que ele assume sem prova (Heath, 1921, p. 122). Ele usa os "antigos" nomes pré-Apolônio para as seções cônicas (isto é, seção de um cone de ângulo agudo = elipse) (Heath, 1961, p. Xlii). Antes de continuar, é importante esclarecer seu vocabulário. Os diâmetros são o que consideramos os eixos da elipse (tanto o maior quanto o menor). Esses dois diâmetros são conjugados. O eixo de uma parábola também é chamado de diâmetro, e os outros diâmetros são chamados de "linhas paralelas ao diâmetro". O diâmetro de uma hipérbole é a porção do que consideramos o eixo dentro da hipérbole unilateral (Arquimedes considera o segundo ramo como parte da mesma curva). O centro da hipérbole era chamado de ponto em que as "linhas mais próximas à seção de um cone obtuso-angular" (assíntotas) se encontram (Heath, 1921, p. 122).

Heath cita várias suposições feitas por Arquimedes com base em trabalhos anteriores de gente como Euclides e Aristeu. Com referência às cônicas centrais:

    A linha reta traçada a partir do centro de uma elipse, ou o ponto de intersecção das assíntotas de uma hipérbole, através do ponto de contato de qualquer tangente, corta todas as cordas paralelas à tangente Na elipse, as tangentes nas extremidades de qualquer de dois diâmetros conjugados são ambos paralelos ao outro diâmetro. Se um cone, direito ou oblíquo, for cortado por um plano que encontra todos os geradores, a seção é um círculo ou uma elipse. Se uma linha entre as assíntotas encontra uma hipérbole e é cortada ao meio no ponto de concorrência, ela tocará a hipérbole Se x, y forem linhas retas desenhadas, em direções fixas, respectivamente, de um ponto em uma hipérbole para encontrar as assíntotas, retângulo xy é constante. Com referência às parábolas em particular, as cordas paralelas são cortadas ao meio por uma linha reta paralela ao eixo, que passa pelo ponto de contato da tangente paralela às cordas. Se a tangente em Q encontra o diâmetro PV em T, e QV é a ordenada ao diâmetro, PV = PT [ver Apolônio para definição de ordenada]. Todas as parábolas são semelhantes (Heath, 1921, pp. 123-24)

A natureza dos escritos de Arquimedes parece ser tal que ele apenas prova o que não é razoavelmente óbvio para um matemático treinado. O que era óbvio para Arquimedes, no entanto, nem sempre coincide com o que é óbvio para a maioria das pessoas! Pelo mesmo argumento, as proposições que Arquimedes prova tendem a ser muito difíceis. Arquimedes parecia menos preocupado em desenvolver um tratamento completo e sistemático das cônicas (que em qualquer caso estava acessível nas obras agora perdidas de outros), mas em usar o que já estava estabelecido e / ou facilmente provado desenvolver teoremas profundos e desafiadores . Por esta razão, este artigo, embora tenha dado um pano de fundo básico das suposições e tendências básicas do estudo de Arquimedes, não examinará as provas originais que ele deu.

Apolônio

Junto com Euclides e Arquimedes, Apolônio é o terceiro membro do trio de grandes mentes geométricas da Grécia Antiga. "Não é exagero dizer que quase todas as geométricas geométricas significativas subsequentes, até e incluindo os tempos atuais, encontram sua origem em alguma obra desses três grandes estudiosos" (Eves, 1963, 25). Apenas uma pequena quantidade de informação é conhecida sobre a vida de Apolônio. Ele nasceu na cidade de Perga, na Panfília, que ficava no sul da Ásia Menor, hoje Turquia. A data de seu nascimento novamente é acordada por Eves e Heath em aproximadamente 262 a.C., ou seja, aproximadamente 25 anos após o nascimento de Arquimedes. Quando jovem, ele viajou para Alexandria para estudar com os sucessores de Euclides. Ele floresceu durante o reinado de Ptolomeu Euergetes ("O Benfeitor", 247-222 a.C.). Ele continuou a ser um estudioso reconhecido durante o reinado de Ptolomeu Filopador (222-205 a.C.). (Heath, 1921, 126). Sabe-se também que visitou Pérgamo, onde conheceu Eudemo, a quem dedicou os dois primeiros livros de suas Seções Cônicas (Heath, 1921, 126). Do terceiro ao sétimo livros (e possivelmente do oitavo, que está perdido) foram dedicados ao rei Attalus I (241-197 a.C.), um fato que ajudou os historiadores a estimarem os anos de sua vida.

Quatro dos oito livros de Apolônio chegaram até nós em grego. O oitavo livro está completamente perdido - nem mesmo temos conhecimento de seu conteúdo. Os livros V-VII chegaram até nós em tradução árabe, cuja data é discutível. Eves e Heath a consideram uma tradução do século IX (Eves, 1990, p. 171). Por outro lado, Cajori escreve sobre uma tradução de 1250, sem qualquer menção à do século IX (Cajori, 1924, 38). Dois irmãos da família Muh, Ahmad e al-Hasan, pensaram em traduzir as Seções Cônicas para o árabe durante o século IX. Quase perderam o interesse devido ao mau estado de seus manuscritos. Ahmad recebeu uma cópia da edição dos Livros I-IV de Eutocius e mandou traduzi-los por Abi Hilal al-Himsi (falecido em 883/4). Ele então deu um manuscrito diferente dos livros V-VII para Thabit ibn Qurra (viveu entre 826 e 901) para traduzir. Confirmando a menção de Cajori à tradução de 1250, Heath relata que, em 1248, outra tradução foi feita por Nasir ad-Din (Heath, 1921, p. 127).

Apolônio abre cada um de seus livros sobreviventes com um prefácio. O prefácio do Livro I, que serve como um prefácio geral para toda a série, e do Livro V foram incluídos no Apêndice A. Do prefácio geral, aprendemos que os primeiros quatro livros das Seções Cônicas completaram e formalizaram o trabalho anterior conhecido por Apolônio na época. De acordo com Heath, Apolônio nunca afirma que o material coberto nos primeiros quatro livros seja original, exceto por certos teoremas no Livro III e as investigações no Livro IV. O que ele afirma, entretanto, é que seu tratado é mais completo e rigoroso do que os trabalhos anteriores sobre o assunto, o que concorda com os comentários de Pappus (Heath, 1961, p. Lxxvii). Ao contrário da maioria dos primeiros quatro livros, os livros de cinco a sete cobriram novos conceitos que iam além do "essencial". Heath afirma: A verdadeira distinção entre os primeiros quatro livros e o quinto consiste antes no fato de que os primeiros contêm uma exposição conectada e científica da teoria geral das seções cônicas como a base indispensável para extensões adicionais do assunto em certas direções especiais, enquanto o quinto livro é um exemplo de tal especialização, o mesmo é verdadeiro para o sexto e o sétimo livros (Heath, 1961, p. lxxvi).

Antes de examinarmos as proposições individuais das Seções cônicas, pode ser apropriado mencionar a origem dos nomes das seções cônicas como as conhecemos hoje. De acordo com Eves, os termos "elipse", "parábola" e "hipérbole" foram adotados do vernáculo pitagórico inicial referindo-se à "aplicação de áreas" (a forma de "álgebra geométrica" ​​registrada em Elementos de Euclides, Livro II. Ao aplicar um retângulo em um segmento de linha [alinhando uma borda do retângulo ao segmento com um canto do retângulo correspondendo a uma extremidade], o "outro" canto do retângulo ficou aquém, encontrou exatamente ou excedeu o final do segmento. Esses três casos foram chamados respectivamente de "elipse", "parábola" ou "hipérbole". Eves mostra como esses termos foram aplicados de maneira semelhante às seções cônicas por Apolônio, da seguinte maneira:

    Seja AB o eixo principal de uma cônica. Seja P qualquer ponto da cônica. Seja Q o pé da perpendicular a AB. Marque uma distância AR, perpendicular a AB por uma distância agora conhecida como latus reto ou parâmetro da curva. Aplique ao segmento AR, um retângulo tendo por um lado AQ e uma área igual a (PQ) e sup2. Se o retângulo exceder o segmento AR, a cônica é uma hipérbole. Se o retângulo coincidir com o segmento AR, a cônica é uma parábola. Se o retângulo ficar aquém do segmento AR, a cônica é uma elipse. (Eves, 1963, pp. 30-1)

Este argumento por si só não parece ser uma prova, nem mesmo uma definição. Como está escrito, certamente não aparece nas Seções Cônicas de Apolônio, embora, mais tarde, quando suas proposições forem discutidas, uma semelhança com estas ficará evidente. As declarações de Eva, no entanto, parecem verificar quando se segue os passos. As três primeiras afirmações são claras e comuns a todos os três casos. Não declarado explicitamente, seja F um foco da seção cônica dada e K um ponto final do latus reto. Aqui estão alguns exemplos (não gregos) de cada um dos três casos:

Antes de entrarmos no método de Apolônio para provar essas relações, seria apropriado apenas começar, como ele fez, definindo os termos relevantes.

Se uma linha reta de comprimento indefinido, e sempre passando por um ponto fixo, for movida ao redor da circunferência de um círculo que não está no mesmo plano do ponto, de modo a passar sucessivamente por todos os pontos dessa circunferência, o a linha reta em movimento traçará a superfície de um cone duplo, ou dois cones semelhantes situados em direções opostas e encontrando-se no ponto fixo, que é o ápice de cada cone.

O círculo sobre o qual a linha reta se move é chamado de base do cone situado entre o referido círculo e o ponto fixo, e o eixo é definido como a linha reta traçada do ponto fixo ou do vértice até o centro do círculo formando o base.

O cone assim descrito é um cone escaleno ou oblíquo, exceto no caso particular em que o eixo é perpendicular à base. Neste último caso, o cone é um cone direito.

Se um cone for cortado por um plano que passa pelo vértice, a seção resultante é um triângulo, dois lados sendo linhas retas na superfície do cone e o terceiro lado sendo a linha reta que é a intersecção do plano de corte e o plano da base.

Seja um cone cujo vértice seja A e cuja base seja o círculo BC, e seja O o centro do círculo, de modo que AO seja o eixo do cone. Suponha agora que o cone é cortado por qualquer plano paralelo ao plano da base BC e DE, e deixe o eixo AO encontrar o plano DE em o. Seja p qualquer ponto na intersecção do plano DE e a superfície do cone. Junte-se a Ap e produza-o para encontrar a circunferência do círculo BC em P. Junte-se a OP, op.

Então, como o plano passando pelas retas AO, AP corta os dois planos paralelos BC, DE nas retas OP, op respectivamente, OP, op são paralelas.

E, sendo BPC um círculo, OP permanece constante para todas as posições de p na curva DpE, e a razão Ao: Ao também é constante.

Portanto, op é constante para todos os pontos na seção da superfície pelo plano DE. Em outras palavras, essa seção é um círculo.

Portanto, todas as seções do cone que são paralelas à base circular são círculos (Heath, 1961, pp. 1-2).

Seções cônicas continuam a definir um diâmetro como uma linha reta que divide ao meio cada uma de uma série de cordas paralelas de uma seção de um cone. Em cada um dos exemplos abaixo, PP 'é um diâmetro:

Nas figuras acima, se QQ 'é dividido ao meio pelo diâmetro PP' em V, então PV é chamado de ordenada, ou uma linha reta desenhada em ordenada. O comprimento PV cortado do diâmetro por qualquer ordenada QV é chamado de abcissa de QV (Heath, 1961, pp. 7-8).

Agora nos voltamos para as definições de Apolônio das seções cônicas enquanto tentamos conectá-las à definição que Eves deu acima. O caso da parábola será dado como um exemplo dos desenvolvimentos de Apolônio:

Primeiro, seja o diâmetro PM da seção paralelo a um dos lados do triângulo axial como AC, e seja QV qualquer ordenada ao diâmetro PM. Então, se uma linha reta PL (supostamente desenhada perpendicular a PM no plano da seção) for tomada de tal comprimento que PL: PA = BC & sup2: BA.AC, deve ser provado que QV & sup2 = PL.PV

Seja HK traçado através de V paralelo a BC. Então, como QV também é paralelo a DE, segue-se que o plano por H, Q, K é paralelo à base do cone e, portanto, produz uma seção circular cujo diâmetro é HK. Além disso, QV está em ângulo reto com HK.

Agora, por triângulos e paralelos semelhantes,

HV: PV = BC: AC e VK: PA = BC: BA.

Portanto, QV & sup2: PV.PA = PL: PA = PL.PV: PV.PA

Segue-se que o quadrado em uma ordenada y ao diâmetro fixo PM é igual a um retângulo aplicado à linha reta fixa PL desenhada em ângulos retos a PM com altitude igual à abscissa PV correspondente. Conseqüentemente, a seção é chamada de Parábola.

A linha reta fixa PL é chamada de latus reto, ou o parâmetro das ordenadas.

Este parâmetro, correspondente ao diâmetro PM, será denotado pelo símbolo p abaixo. Assim,

Esta prova difere da dada acima, pois o exercício anterior assumiu que o foco era conhecido. Apolônio escolhe PL de forma que represente o latus reto, ou largura focal da curva. Devido ao desenvolvimento anterior, qualquer plano paralelo à base e cortando o cone completamente é um círculo. Por meio do uso de conjuntos de linhas paralelas QV e DE, HK e BC, e por meio dos triângulos semelhantes HKA e BCA, segue-se diretamente como afirma Apolônio. Assim como na demonstração anterior (Evas), o quadrado da ordenada (QV e sup2) é igual ao comprimento do latus reto (LP) vezes a abscissa de QV (PV).

As definições de Apolônio da hipérbole e elipse seguem uma linha semelhante. Para a hipérbole, a área do retângulo (definida igual ao quadrado da ordenada) se sobrepõe ao latus reto fixo. Para a elipse, a área do retângulo fica aquém do reto latus fixo. Reiterando, Heath sugere que essas definições indicam que os nomes vêm dos termos pitagóricos relativos à aplicação de áreas a segmentos.

O tópico final das Seções cônicas de Apolônio a ser considerado é o tratamento das tangentes. Ele desenvolve esse tópico tanto no Livro I quanto no Livro V. O Livro V introduz a ideia de linhas "máximas" e "mínimas" para se referir a tangentes e normais, respectivamente. Este livro, considerado por Eves como "o mais notável e original" dos sete que temos hoje, rapidamente se torna muito difícil de ler e seguir. As proposições e relações que prova, que hoje são mais facilmente mostradas pelo cálculo diferencial, são rigorosamente exploradas na clássica forma geométrica grega (Heath, 1961, pp. Lxxv-lxxvi). Teoremas preliminares, no entanto, não são terrivelmente difíceis de seguir. Primeiro, examinaremos duas proposições do primeiro livro sobre tangentes (uma será declarada e discutida, a outra formalmente provada) e, em seguida, examinaremos um teorema do Livro V.

A proposição 11 afirma: Se uma linha reta for desenhada através da extremidade do diâmetro de qualquer cônica paralela às ordenadas desse diâmetro, a linha reta tocará a cônica, e nenhuma outra linha reta pode cair entre ela e a cônica (Heath, 1961, p. 22). Ou seja, nenhuma linha reta pode caber entre uma linha tangente e a curva à qual ela é tangente. Esta parece ser uma afirmação razoável, relacionada à definição de linha tangente usada posteriormente no desenvolvimento do cálculo (embora, entre outras coisas, também seja "global" em escopo).

Apolônio prova isso em dois casos, um para uma parábola e outro para a elipse, hipérbole e círculo [interessante que ele incluísse o círculo].

Proposição 12: Se um ponto T for tomado no diâmetro de uma parábola fora da curva e suh que TP = PV, onde V é o pé da ordenada de Q ao diâmetro PV, a linha TQ tocará a parábola.

Temos que provar que a linha reta TQ ou TQ produzida não cai dentro da curva em nenhum dos lados de Q.

Pois, se possível, seja K, um ponto em TQ ou TQ produzido, caia dentro da curva e, por meio de K, desenhe Q'KV 'paralelo a uma ordenada e encontrando o diâmetro em V' e a curva em Q '.

Então Q'V 'e sup2: QV e sup2> KV' e sup2: QV e sup2, por hipótese,> TV 'e sup2: TV e sup2

Portanto, 4TP.PV ': 4TP.PV> TV' & sup2: TV e sup2

Mas, uma vez que, por hipótese, a TV 'não é dividida ao meio em P,

o que é um absurdo. Portanto, TQ em nenhum ponto cai dentro da curva e, portanto, é uma tangente.

A figura para esta prova por contradição pode ser redesenhada para mostrar o que está sendo assumido, que existe um ponto K em TQ tal que K está dentro da parábola. Em seguida, construímos KQ'V 'paralelamente à ordenada QV.

Então, usando nossa suposição de que Q'V '> KV', o dado TP = PV e os triângulos semelhantes TVP e TV'Q ', chegamos à contradição.

Agora avançamos para o Livro V para ter uma ideia da ideia de mínimo de Apolônio com um caso simples do conceito:

Proposição 82 Em uma parábola, se E for um ponto no eixo tal que AE é igual a metade do latus reto, então a linha reta mínima de E para a curva é AE e, se P for qualquer outro ponto na curva, PE aumenta à medida que P se move mais longe de A em ambos os lados. Além disso, para qualquer ponto:

Seja AL o parâmetro ou latus reto. Então, PN & sup2 = AL.AN = 2AE.AN

Adicionando EN & sup2, temos, EN & sup2 = 2AE.AN + EN & sup2 = 2AE.AN + (AE - AN) & sup2 = AE & sup2 + AN

Assim, PE & sup2> AE & sup2 e aumentam com AN, ou seja, conforme P se move mais e mais de A. Também o valor mínimo de PE é AE, ou AE é a linha reta mais curta de E para a curva.

[Nesta proposição, assim como em muitas outras no Livro V, Apolônio considera três casos, onde N está entre A e E, onde N coincide com E e PE (perpendicular ao eixo), e onde AN é maior que AE-vamos considere apenas este caso por uma questão de brevidade]

A prova começa afirmando a relação geral entre ordenada, abscissa e latus reto de uma parábola. Este é um caso especial da parábola em que E é escolhido no diâmetro tal que AE é a metade do latus reto, o que se reflete na reescrita da relação original. Como PN é perpendicular a PE, EN & sup2 é adicionado a ambos os lados da equação e, devido ao Teorema de Pitágoras, o lado esquerdo da equação se reduz a PE & sup2. O resto da prova segue facilmente.

Conclusão

Este artigo tentou fornecer uma introdução sistemática ao trabalho dos geômetras gregos envolvidos no desenvolvimento da teoria da seção cônica. Tudo começou com o trabalho de Menaechmus, que primeiro usou cônicas para resolver a duplicação do cubo. Não se sabe quantas propriedades das cônicas ele conhecia, embora seja geralmente aceito que ele sabia que provinham do corte de um cone. Depois de Menaechmus, Aristeu e Euclides formalizaram e expandiram as cônicas (Aristaeus era mais original). Então veio o grande Arquimedes, que usou a teoria elementar das seções cônicas para desenvolver conceitos importantes sobre parábolas, e estendeu isso muito além do escopo deste artigo. O ponto culminante do assunto veio das mãos de Apolônio, que, em oito volumes, desenvolveu rigorosamente tudo o que se sabia sobre as seções cônicas antes dele, e acrescentou uma infinidade de proposições que lhe eram originais (acreditamos), tanto de fato que Eves observa, "O tratado é consideravelmente mais completo do que o curso universitário usual dos dias de hoje no assunto".

Após a era desses grandes matemáticos, houve uma calmaria no crescimento das seções cônicas até Pappus. Ele expandiu muito do que era conhecido e também provou ser uma fonte valiosa para historiadores da matemática modernos que tentavam aprender sobre os métodos gregos. Com o falecimento de Pappus e talvez de Proclus, as cônicas desapareceram por mais de 1000 anos até renascer nos séculos XV e XVI. Embora o trabalho de cientistas e matemáticos, como Kepler, que era ambos, as cônicas evoluíram de um novo exercício intelectual na Grécia Antiga, para uma ferramenta de modelagem poderosa para explicar as leis físicas do universo.

Prefácios selecionados para seções cônicas (traduzidos por Halley, impressos em Heath)

Apolônio para Eudemo, saudação.

Se você estiver com boa saúde e as circunstâncias forem, em outros aspectos, como deseja, é bom que eu também esteja razoavelmente bem.Quando estive com você em Pérgamo, observei que você estava ansioso para se familiarizar com meu trabalho em cônicas, portanto, envio-lhe o primeiro livro que corrigi, e os livros restantes irei encaminhá-los quando os terminar de modo satisfatório. Atrevo-me a dizer que não se esqueceu de lhe ter dito que empreendi a investigação deste assunto a pedido de Naucrates, o geómetro, na altura em que ele veio a Alexandria e ficou comigo, e que, após elaborá-lo em oito livros, comuniquei a ele de uma vez, um tanto huuriedly, sem uma revisão completa (como ele estava a ponto de navegar), mas anotando tudo o que me ocorreu, com a intenção de voltar a eles mais tarde. Portanto, aproveito agora a oportunidade de publicar cada parte de vez em quando, à medida que é corrigida gradualmente. Mas, visto que por acaso algumas outras pessoas que estiveram comigo receberam o primeiro e o segundo livros antes de serem corrigidos, não se surpreenda se você os encontrar em uma forma diferente.

Agora, dos oito livros, os quatro primeiros formam uma introdução elementar, o primeiro contém os modos de produzir as três seções e os ramos opostos [da hipérbole-Heath] e suas propriedades fundamentais trabalhadas de forma mais completa e geral do que nos escritos de outros autores a segunda trata das propriedades dos diâmetros e eixos das seções, bem como das assíntotas e outras coisas de importância geral e necessárias para determinar os limites de possibilidade, e o que quero dizer com diâmetros e eixos você aprenderá neste livro. O terceiro livro contém muitos teoremas notáveis, úteis para a síntese de loci sólidos e determinações de limites, os mais e mais bonitos desses teoremas são novos e, quando os descobri, observei que Euclides não havia elaborado a síntese do locus com respeito para três e quatro linhas, mas apenas uma parte casual dela e não com sucesso: pois não era possível que a síntese pudesse ter sido completada sem minhas descobertas adicionais. O quarto livro mostra de quantas maneiras as seções de cones se encontram e a circunferência de um círculo contém outras questões, nenhuma das quais foi discutida por escritores anteriores, a respeito do número de pontos em que uma seção de cone ou a circunferência de um círculo encontra [os ramos opostos de uma hipérbole-Heath].

O resto [dos livros-Heath] são mais por meio de suplusage ['mais avançado', mas literalmente implica extensões do assunto além do mero essencial-Heath na forma de uma nota de rodapé]: um deles lida um tanto completamente com mínimos e máximos, um com seções iguais e semelhantes de cones, um com teoremas envolvendo a determinação de limites e o último com problemas cônicos determinados.

Quando todos os livros forem publicados, é claro que estará aberto para aqueles que os lerem, para julgá-los como quiserem individualmente. Até a próxima.

Apolônio para Attalus, saudação.

Neste quinto livro, apresentei proposições relacionadas às linhas retas máximas e mínimas. Você deve saber que nossos predecessores e contemporâneos tocaram apenas superficialmente na investigação das linhas mais curtas, e apenas provaram quais linhas retas tocam as seções e, inversamente, quais propriedades elas têm em virtude das quais são tangentes. De minha parte, provei essas propriedades no primeiro livro (sem, entretanto, fazer qualquer uso, nas provas, da doutrina das linhas mais curtas), na medida em que desejava colocá-las em estreita conexão com aquela parte do assunto em que Tratei da produção das três seções cônicas, a fim de mostrar ao mesmo tempo que em cada uma das três seções aparecem inúmeras propriedades e resultados necessários, como fazem com referência ao diâmetro original (transversal). As proposições nas quais discuto as linhas mais curtas separei em classes, e tratei de cada caso individual por demonstração cuidadosa, também conectei a investigação delas com a investigação das linhas maiores acima mencionadas, porque considero que aqueles que cultivam isso a ciência precisava deles para obter um conhecimento da análise e determinação dos problemas, bem como para a sua síntese, independentemente do fato de serem objeto de um daqueles que parecem dignos de estudo por si próprios. Até a próxima.


Como os gregos mudaram a ideia da vida após a morte

Seus cultos secretos ajudam a moldar a maneira como pensamos sobre o que acontece após a morte.

O mundo da Grécia Antiga estava cheio de deuses, liderados pelos imponentes olímpicos - Zeus, Hera, Apolo, Poseidon, Atenas e outros gigantes da mitologia. Junto com a adoração desses habitantes divinos do Olimpo, havia centenas de cultos focados em divindades e heróis locais.

As pessoas oravam a esses deuses pelas mesmas razões que oramos hoje: por saúde e segurança, por prosperidade, por uma boa colheita, por segurança no mar. Principalmente, eles oravam como comunidades e, por meio de ofertas e sacrifícios, procuravam agradar às divindades inescrutáveis ​​que acreditavam controlar suas vidas.

Mas o que acontece após a morte? Nisto, os antigos olhavam para Hades, deus do submundo, irmão de Zeus e Poseidon. Mas Hades não deu nenhuma garantia. Envolto em escuridão enevoada, cortado pelo temível Rio Styx, o reino de Hades ("o invisível") era, segundo o poeta Homero, um lugar de "horror apodrecido" onde pessoas comuns - e até heróis - iam depois de morrer.

O interesse simpático pela condição humana acabou levando os gregos a adotarem novas formas de religião e novos cultos. Não mais visto como um destino sem alegria, a vida após a morte tornou-se mais uma busca pessoal. Os cultos misteriosos, envoltos em segredo, prometiam orientação para o que viria após a morte. Os ritos de mistério eram intensamente emocionais e encenados como um teatro elaborado. Aqueles dos grandes deuses na ilha grega de Samotrácia ocorreram à noite, com tochas acesas apontando o caminho para os iniciados. Guardados sob pena de morte, os rituais permanecem misteriosos até hoje.

Por volta do século IV a.C., surgiram cultos que afirmavam oferecer purificação por meio da limpeza dos iniciados da mancha da humanidade. As bases para novas religiões estavam se firmando. E quando o Cristianismo varreu o mundo antigo, ele carregou consigo, junto com a orientação de uma única divindade, resquícios das antigas crenças: a lavagem da corrupção humana por meio de ritos místicos, os diferentes destinos aguardando os iniciados e não iniciados, e a reverência por textos sagrados.